Scienca Revuo/vol. 1, n-ro. 1/Rimarkoj pri la funkcioj de Euler, la faktora funkcio kaj la binomaj nombroj

Formuloj en esperantaj revuoj Indekso : Scienca Revuo (1949)
de J. Giltay
Rimarkoj pri la funkcioj de Euler, la faktora funkcio kaj la binomaj nombroj
Esperanto en la scienco
vol. 1, n-ro. 1 (1949), p. 24–28

RIMARKOJ PRI LA FUNKCIOJ DE EULER, LA FAKTORA FUNKCIO KAJ LA BINOMAJ NOMBROJ
de J. GILTAY.
Redakti

PDF-Dosiere

1. En siaj „Metodoj de matematika fiziko” la britoj H. kaj B. S. Jeffreys pledas por la uzo de la faktora funkcio   anstataŭ la gamma-funkcio de Euler. Multaj matematikistoj antaŭe uzis la simbolon   nur se   estas pozitiva entjero. Efektive, tiukaze la difino de   povas esti tre simpla:

  , (1)

do:   k.t.p.

Verŝajne la funkcio   dankas al tiu difino la nomon faktora funkcio aŭ faktorialo.

Estas konata afero, kiun ni ne pruvos tie ĉi, ke validas la rilato

 

se   estas pozitiva entjero.

Estas iom ĝene, ke la argumento, kiun oni bezonas plej ofte en la gammafunkcio estas ne  , sed  . Pro tio oni ankaŭ uzas la simbolon  , difinatan de:

 ,

sed la simbolo   kaŭzas konfuzon kun la tre multe uzata simbolo por diversaj produtoj.

Kiel oni vidas, la plej simpla maniero eviti la malfacilaĵojn estas: uzi la simbolon   anstataŭ  , ankaŭ en la kazoj de neentjera   kaj de nepozitiva  .

Unu el la plej gravaj ecoj de la gammafunkcio estas esprimata en la funkcia ekvacio:

 ,

kiu nun prenas la formon:

 , (2)

validan por ĉiuj valoroj de  .

Alia grava funkcia ekvacio estas:

 

Por neentjera   la funkcio   havas ĝenerale nesimplan valoron. Esceptoj estas la kazoj, en kiuj   estas entjero plus duono, ĉar tiam la valoro estas facile trovata el la laŭbezona aplikado de (2) kaj la rilato:

 

sekvanta el (2) kaj (3) por  .

Nun ni esploru la valorojn de   k.t.p.

Se ni prenas en (2)  , ni trovas:

 

Ĉar  , la rezulto estas:  .

Sed se ni prenas en (2)  , ni trovas:

 ,

do   devas esti infinita. En la sama maniero ankaŭ   k.t.p. montriĝas infinitaj.

2. La betafunkcio de Euler estas funkcio de du grandoj. Oni trovas en la lernolibroj kutime la pruvon pri la rilato:

 .

kaj iun rimarkon, ke la betafunkcio pro tio ne plu bezonas specialan esploron.

Ĉi tiu rilato transformiĝas en la nova notaĵo (se ni samtempe skribas   kaj   anstataŭ   kaj  ) en:

  (4)

Oni renkontas la betafunkcion nur sur speciala kampo. La inverso de la dua membro de (4) enhavas la faktorojn   kaj

 

el kiuj la dua estas renkontata sur tre multaj kampoj. En la formo

 

(ni igis  ) ĝi enhavas la tre gravajn binomajn nombrojn.

De nun ni rezervos la literojn   kaj   por entjeroj, kontraŭe al  ,   kaj  , kiuj povos prezenti ankaŭ aliajn nombrojn.

La binomaj nombroj aperas en la disvolvoj de la diversaj potencoj de   kiel la koeficientoj de la potencoj de  .

La koeficienton de la  -a potenco de   en la disvolvo de   oni kutime nomas „  super  ”. Oni ankaŭ skribas   super   inter krampoj  .

Ni uzos la notajon  , por kiu oni vidu la artikolon pri notajoj en tiu ĉi kajero (p. 23).

Estas praktike, uzi la simbolon por la binomaj nombroj ankaŭ en la kazo de neentjera potenco de  . Ni do havas por   tute ĝenerale:

 , (5)

en kiu formulo validas:

 , (  pozitiva entjero), (6a)

 , (6b)

 , (  negativa entjero). (6c)

3. La difino de la binomaj nombroj per la formuloj (6c) estas malmulte kontentiga pro la fakto, ke tri kazoj devas esti distingataj. Ni montros pli ĝeneralan formulon.

Se en (6c)   estas negativa nombro, ekzemple  , la dua membro de (6a) povas esti reskribata jene:

 ,

en kiu esprimo la vicordo de la numeratoroj estas renversata kaj la minussignoj estas transplantataj antaŭen. Oni vidas el tio, ke validas:

  (7)

se   estas pozitiva entjero kaj   estas negativa nombro. Nun el (7) sekvas, se oni igas la tiam pozitivan grandon   (do  :

  (  pozitiva).

Tio montras, ke (7) estas ankaŭ ĝusta por pozitiva  .

Se  , ambaŭ membroj de (7) estas nuloj, kiel sekvas el (6a) por pozitiva  . Por   pozitiva, la rilato (7) do validas por ĉiu valoro de  . Sed el (6b), respektive (6c), sekvas la sama valideco de (7) por  , respektive   negativa entjero. Do (7) validas por ĉiu reala   kaj ĉiu entjera  .

El (6a) oni facile konkludos, ke almenaŭ por kelkaj valoroj de   kaj   devas validi la rilato:

 . (8)

Oni vidas facile la validecon de (8) por nenegativa   el (6a), (6b) kaj (6c).

Se   estas negativa, sed ne estas entjero, oni sekvigas el (6a) kaj (7) por pozitiva  :

 

Uzante (3) por   kaj   oni trovas plu:

 

Se, kiel ni supozis,   estas entjero, ni havas

 ,

do  

Evidente do (8) validas ankaŭ por negativa neentjera  . Sed se   estas negativa entjero la sinusoj en la antaŭa reduktoprocedo prenas la valoron nulo kaj nedifinita kvociento rezultas. Tiu malfacilaĵo estas forigata per la formulo:

  (9)

kiu, kontraŭe al (8), ankaŭ por   negativa entjero (kaj  ) estas identa kun (6), ĉar la kvociento de la sinusoj restas unu en la limito. La transiro al la limito havas efektivan signifon nur se   estas negativa entjero, kaj povus esti forlasata sen aliigo de la valoro de ( ) en ĉiuj aliaj kazoj.

Ni povas preni (9) kiel difinon de la ,,binomnombra” funkcio ( ) en kiu   nun povas havi ankaŭ neentjerajn valorojn. Ni tamen supozas ke   kaj   estas realaj nombroj.

La binomnombra funkcio evidente havas la sekvantan rilaton kun la betafunkcio:

 . (10)

4. Estas rimarkinde, ke la binomaj nombroj (nun difinitaj kiel la valoroj de la binomnombra funkcio por entjeraj valoroj de la du argumentoj) por pozitiva unua argumento montras simetrion, kiu ne ekzistas por negativaj valoroj de la unua argumento. Vidu por tio la tabelon:

               
  0 0 0 1 -3 6 -10
  0 0 0 1 -2 3 -4
  0 0 0 1 -1 1 -1
  0 0 0 1 0 0 0
  0 0 0 1 1 0 0
  0 0 0 1 2 1 0
  0 0 0 1 3 3 1

La nenulaj nombroj en la malsupra duono de la tabelo trovigas en la sama vicordo en la triangulo de Pascal. Ankaŭ en tiu triangulo ĉiu vico de nombroj estas simetria. La vicoj por negativa   tamen ne estas simetriaj. Rimarku, ke ĉie en la tabelo iu nombro estas la sumo de la nombro rekte super tiu nombro kaj ties maldekstra najbaro.

La rilato

 ,

kiun oni facile povus konjekti post (8), estas (tute kiel (8) mem) neĝusta por   negativa, kiel montras la tabelo. Generale la rilato

 

estas nur ĝusta, se   ne estas negativa entjero. La kaŭzo de tio estas, ke pro la limito en (9) la dua membro de (9) ne estas simetria rilate al   kaj  .

Ni devas rimarki, ke la difino (9) estas iomete arbitra. Estus ankaŭ eble difini   kiel:

 .

Al tiu difino ni estus venintaj, se ni estus prenintaj la disvolvon de  , kiu konverĝas ĉiam por  . Car tiam validas

 

En tiu disvolvo la koeficiento de   estas  . Oni vidas, ke por   pozitiva entjero la du disvolvoj estas identaj.

Estas nia opinio, ke estas praktike, ligi la difinon de   al la pli simpla kaj pli ofte uzata unua disvolvo.