Scienca Revuo/vol. 1, n-ro. 3/Ĝenerala regulo pri la dividebleco de entjeroj per aliaj entjeroj

La komuneco de la sciencoj

Indekso : Scienca Revuo (1949)
de P. Schäfer
Ĝenerala regulo pri la dividebleco de entjeroj per aliaj entjeroj

Pri la divena vergo

Info

vol. 1, n-ro. 3 (1949), p. 84–86

ĜENERALA REGULO PRI LA DIVIDEBLECO DE ENTJEROJ PER ALIAJ ENTJEROJ
de P. SCHÄFER (Germanujo).

PDF-Dosiere

La Elementa Aritmetiko havas belecmankon en la ĉapitro pri la dividebleco de entjeroj per aliaj entjeroj. Oni donas regulojn por la dividebleco per $2$ , $4$ , $8$ ; $3$ , $9$ ; $11$ kaj — tre malofte kaj ne ĉiam koncize — per $7$ . Oni uzas la econ, ke $7\times 11\times 13=1001$ , por pruvi ke nombroj de la formo $784784$ estas divideblaj per $7$ , $11$ kaj $13$ . Oni inventis spritplenajn metodojn por dispartigi la nombron dividotan per iu dividanto en konvena maniero. Sed en la matematika literaturo ĝis nun tute mankas ĝenerala, bone fondita regulo, kiu liveras por ĉiu entjero kaj kiu ajn dividanto la reston, speciale la eventualan reston $0$ , t.e. la pruvon pri la dividebleco, kaj kiu resumas la ĝis nun konatajn apartajn regulojn, laŭ la tendenco de la scienco progresi indukte de la multeco al la unueco.

Tian regulon alportas ĉi tiu artikolo, kiu estas ekstrakto el pli detala germanlingva traktaĵo, transdonita je la 23.III.1946 al la Braunschweig-a Scienca Asocio (Akademio) kaj aprobita de ĝi, sed ĝis nun ankoraŭ ne presita manke de propra revuo.

Pri la interesa historio de ĉi tiu problemo mi ne raportas.¹

Por esplori la divideblecon de entjero $Z$ per alia entjero $t$ , aŭ la $t$ -reston, oni serĉu 2 laŭ absoluta valoro kiel eble plej malgrandajn entjerojn $s$ kaj $n$ tiajn ke $10^{s}=n{\pmod {t}}$ , aŭ $10^{s}=pt+n$ , kie $p$ estas, cetere sensignifa, entjero, kaj $n$ estas pozitiva aŭ negativa.

Ekz.	Dividanto $t=11$ :		$10^{2}=9\times 11+1$ ;	$s=2$ ,	$n=+1$
		aŭ	$10=11-1$ ;	$s=1$ ,	$n=-1$
	Dividanto $t=13$ :		$10^{2}=8\times 13-4$ ;	$s=2$ ,	$n=-4$
	Dividanto $t=37$ :		$10^{3}=27\times 37+1$ ;	$s=3$ ,	$n=+1$

Poste oni partigas $Z$ de dekstre maldekstren en grupojn po $s$ ciferoj, do ricevante ĝenerale $s$ -ciferajn nombrojn, kiujn ni nomu „ $s$ -eloj” (prononcu: soeloj), do laŭ la valoro de $s$ : $1$ -eloj, $2$ -eloj, $3$ -eloj, ktp. La komuna nomo estu „klasoj”. Estu la klasoj de entjero $Z$ kies divideblecon per $t$ ni esploras, laŭvice de dekstre maldekstren $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , kc.; do estas

Z=A_{0}+10^{s}A_{1}+10^{2s}A_{2}+10^{3s}A_{3}+\ldots

=f(10^{s})

=A_{0}+A_{1}(pt+n)+A_{2}(pt+n)^{2}+A_{3}(pt+n)^{3}+\ldots

=f(pt+n)

=f(n)+Bt+Ct^{2}+Dt^{3}+\ldots

=f(n)+t.F(t)

laŭ la formulo de Tavlor, kaj, ĉar $t.F(t)$ estas dividebla per $t$ , sufiĉas esplori la divideblecon de $f(n)$ per $t$ . Sed

$f(n)=A_{0}+nA_{1}+n^{2}A_{2}+n^{3}A_{3}+\ldots$ (Mac. Laurin).

Ni nomu la absolute plej malgrandajn $t$ -restojn de $A_{0}$ , $A_{1}$ , $A_{2}$ , $A_{3}$ , $\ldots$ samvice $R_{0}$ , $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{3}$ , $\ldots$ , tiujn de $n$ , $n^{2}$ , $n^{3}$ , $\ldots$ samvice $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ , $\ldots$ , tiam la sumo $S=R_{0}+R_{1}r_{1}+R_{2}r_{2}+R_{3}r_{3}+\ldots$ havas la saman $t$ -reston kiel $Z$ .

Laŭ la teorio de la nombroj la progresioj $r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}\ldots$ ĉiam estas periodaj kaj facile kalkuleblaj por ĉiu $n$ .

Ekzemploj.

Dividebleco per 2, 4, 8, 5, 25, 125. Ĉar aŭ jam la $t$ -restoj $r$ de la potencoj de $n$ , aŭ, ĉe konvena elekto de $s$ , la nombro $n$ mem estas $0$ , ĉiu-kaze oni ricevos la konatajn regulojn.

Per 9 kaj 3.

$10=9+1$ ; $s=1$ , $n=1$ kaj ĉiuj potencoj de $n$ egalas al $1$ . $1$ -eloj.

$Z=375426$ (La 9-restoj $R$ egalas al la respondaj $1$ -eloj). $S=3+7+5+4+2+6=27$ .

$S$ kaj do $Z$ estas divideblaj per 9 kaj 3. (Larĝsumoj-regulo por 9 kaj 3).

Per 11. $10=11-1$ . $s=1$ , $n=-1$ ,

kaj la potencoj de $n$ estas alterne $+1$ kaj $-1$ .

$Z=754721$ (La 11-restoj $R$ egalas al la $1$ -eloj).

$S=-7+5-4+7-2+1=0$ . $Z$ dividebla per 11.

Alia soivo: $10^{2}=11\times 9+1$ . $s=2$ , $n=1$ kaj ĉiuj potencoj de $n=1$ . $2$ -eloj.

$Z=754721$

$S=-2+3-1=0$ (Larĝsumo de 11-restoj de la $2$ -eloj)

Per 7. $10^{2}=14\cdot 7+2$ . $s=2$ , $n=2$ . $2$ -eloj. Periodo (vidu supre) $1$ , $2$ , $4$ .

$Z=$	$~25$	$~83$	$~99$	$~74$	$~16$
	$+4$	$-1$	$+1$	$+4$	$+2$	(7-restoj de la $2$ -eloj,
	$~\cdot 2$	$~\cdot 1$	$~\cdot 4$	$~\cdot 2$	$~\cdot 1$	obligataj per la periodaj potencrestoj)
	———————————
$S=$	$+8$	$-1$	$+4$	$+8$	$+2$	$=21$ . $Z$ dividebla per 7.

Per 13. $10^{2}=8\cdot 13-4$ . $s=2$ , $n=-4$ . $2$ -eloj. Periodo $1$ , $-4$ , $+3$ .

$Z=$	$25$	$83$	$99$	$74$	$16$
	$-1$	$+5$	$-5$	$-4$	$+3$	(13-restoj de la $2$ -eloj,
	$\cdot -4$	$~\cdot 1$	$~\cdot 3$	$\cdot -4$	$~\cdot 1$	obligataj per la periodaj potencrestoj)
	————————————
$S=$	$+4$	$+5$	$-15$	$+16$	$+3$	$=13$ . $Z$ dividebla per 13.